25 марта 2001г.
Задания мартовской олимпиады
механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова
Вариант 01-3-1
1. Решить уравнение

3x-2|x-2| = 3\sqrt{3x+18} - 2|\sqrt{3x+18}-2|.
2. Решить неравенство

\frac{\log_{(21+4x-x^2)}(7-x)}{\log_{(x+3)}(21+4x-x^2)} < \frac{1}{4}

3. В трапеции ABCD с боковой стороной CD=30 диагонали пересекаются в точке E, а углы AED и BCD равны. Окружность радиуса 17, проходящая через точки C, D и E, пересекает основание AD в точке F и касается прямой BF. Найти высоту трапеции и ее основания.

4. Можно ли подобрать числа A,B,\varphi, \psi так, чтобы выражение

(\sin(x-\frac{\pi}{3})+2)^2 + A\cos(x+\varphi) + B\sin(2x+\psi)

принимало при всех x одно и то же значение С? Если да, то какие значения может принимать константа С?

5. Основанием прямой призмы ABCA'B'C' с высотой 4/7 служит треугольник ABC, в котором AB=BC=1 и AC = \frac{3}{7}. Через точку пересечения диагоналей грани ACC'A' на расстоянии 4/13 от точки A проводится плоскость, делящая объем призмы пополам. Какова наибольшая площадь сечения призмы такой плоскостью?

6. Найти все значения a, при которых система

\left\{ \begin{array}{rcl} (a-1)x^2 + 2ax+a+4&\le& 0\ ax^2+2(a+1)x+a+1&\ge&0\ \end{array} \right.

имеет единственное решение.